РУСЛА И ДЖОКЕРЫ: О НОВЫХ МЕТОДАХ ПРОГНОЗА ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)

Обеспечение безопасности сложных систем требует прогнозирования их поведения, Наиболее успешные прогнозы выполняются, когда в наличии имеется адекватная математическая модель объекта. Однако во многих реальных случаях неизвестно, существует ли такая модель и как её следует строить.

В подобных ситуациях одним из подходов является обработка имеющихся числовых данных (временных рядов) , представляющих собой запись о прошлом поведении объекта. При наличии такой информации можно предпринять попытку 1) построить некоторую систему уравнений, с достаточной точностью воспроизводяшую поведение наблюдаемого объекта и 2) построить прогноз будущего поведения временного ряда

Первые прогнозы поведения временных рядов делались в рамках математической статистики при помощи построения статистических авторегрессионных моделей Затем развитие нелинейной динамики позволило дать обоснование, почему авторегрессионных модели действительно способны давать правильный прогноз (теорема Такенса), а также указать класс моделей, для которых такой подход оказывается особенно эффективным. Ими оказались нелинейные детерминированные модели небольшой размерности, описывающие хаотическое поведение.

В последние годы наиболее перспективным практическим подходом к построению предсказывающих систем считается применение многослойных нейронных сетей (персептронов). Причём, согласно многим сообщениям, нейронные сети иногда позволяют получить прогноз даже в ситуациях, безнадёжных с точки зрения теории. Целью проводившихся исследований была попытка объяснения этого факта.

Заметим, что способность к предсказаниям – один из важнейших аспектов деятельности мозга. Поскольку мозг и некоторые простейшие модели нейронных сетей способны к прогнозированию в реальных ситуациях, мы предлагаем объединить идеи нелинейной динамики и нейронных сетей.

Детальный анализ теоремы Такенса показывает, что она накладывает ограничения на вид функции Реально эта функция должна зависеть от меньшего числа параметров, т.е. определять отображение в себя некоторой n-мерной поверхности в m-мерном пространстве. Оказывается, что структура многослойных персептронов построена таким образом, что позволяет строить проекции малой размерности.

Функция одного слоя нейронной сети заключается в вычислении “сигмоидной функции” от линейной комбинации

Сами линейные комбинации входных величин можно рассматривать как компоненты проекций. В качестве же s (y) обычно используют функцию с насыщением, которую приближенно можно рассматривать как кусочно-линейную: на "рабочем" участке , а вне его При помощи членов n рабочий интервал можно сдвигать, добиваясь того, с тем, чтобы для данного набора входных параметров значение , либо попадало внутрь его ("компонента активна"), либо вне его ("компонента неактивна"). В принципе это позволяет активизировать только и необходимых компонент , а значит получить на нейронах промежуточного слоя необходимую проекцию. Следующий слой нейронов вычисляет аналогичную функцию, которую можно рассматривать как линейную аппроксимацию искомой функции F.

Выше мы отмечали ограничения, с которыми сталкиваются методы построения обычных аппроксимаций функции F (нетрудно получить оценку, что типичная погрешность таких аппроксимаций должна составлять 10% и более). Но подобные оценки связаны только с "глобальной" предсказуемостью, т.е. фактически с возможностью восстановить полную динамическую систему. Для сложной системы эта задача неразрешима. Но может существовать возможность делать локальные прогнозы. В пользу этой идеи говорит и упоминавшаяся способность нейронных сетей к построению проекций. Поэтому было бы разумно рассмотреть вопрос о "предсказуемости в проекции малой размерности".

Предположим, что локально, в некоторой области G n-мерного фазового пространства поведение сложной системы приближенно, но с хорошей точностью может быть описано маломодовой моделью с размерностью фазового пространства n1 < n. Тогда, если данная траектория в течение времени наблюдений, достаточное число раз проходила через область G, то этого может быть недостаточно для того, чтобы восстановить полную исходную n-мерную систему, но достаточно, чтобы восстановить n1 -мерную функцию, дающую возможность делать локальный прогноз. При таких обстоятельствах не возникает никаких противоречий с ограничениями методик прогноза. Видимо, нейронные сети позволяют найти подобные проекции.

Такие области G и соответствующие им маломодовые модели мы будем называть руслами. Когда траектория попадает в такое русло, в течение некоторого времени ее поведение становится предсказуемым и "квазималомодовым". Когда же она покидает русло, поведение снова становится более сложным. Детерминированное маломодовое описание больше невозможно, ситуация выглядит как частично случайная, непредсказуемая. Для качественного объяснения таких ситуаций при помощи методов маломодовой нелинейной динамики мы предлагаем новый класс моделей – динамические системы с джокерами. Джокер – это область в фазовом пространстве, где поведение детерминированной системы становится вероятностным. Например, джокер может забросить траекторию почти в любую точку фазового пространства, а затем в течение некоторого времени динамика снова будет маломодовой и детерминированной. Иными словами, подход русел и джокеров – это попытка использовать идеи маломодовой нелинейной динамики для анализа сложных систем большой размерности.

В работе показаны возможные пути возникновения таких проекций, предложены подходы к их обнаружению и построен простой молельный пример, демонстрирующий принципиальную возможность обнаружения русел. В частности, показано, что типичная размерность маломодовых проекций должна составлять от 2 до 6.

Интересно, что мозг обладает огромными возможностями для поиска таких важных деталей, построения русел и выработки прогнозов. Если набор существенных параметров окажется неполным, будет возникать много ошибок, поэтому предшествующий опыт может соответствовать способности создавать правильные проекции реальности. По-видимому, эта способность частично унаследована искусственными нейронными сетями, и служит одной из причин их успешного применения.

Работа была частично поддержана РФФИ, гранты 96 – 01 – 01161, 96 – 02 – 18689, 97 – 01 – 00396.