Фельдштейн И.В. Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН Россия

Одним из базовых методов анализа временных рядов, получивших широкое распространение в последние 10-15 лет, является вычисление корреляционного интеграла [1]. На его основе были разработаны методы определения размерности вложения исследуемой системы, введено понятие корреляционной размерности, предложены процедуры, позволяющие отличить случайный шум от динамического хаоса и многое другое. С его помощью анализировались данные самой различной природы технические, медицинские, гидродинамические, астрофизические, финансовые и т.д.

Однако нарыву с задачами анализа отдельных систем и временных рядов, ими порождаемых, существует обширный класс задач, заключающихся в сравнении поведения двух разных систем или одной системы в разные моменты времени. Задачи последнего типа могут рассматриваться как выявление нестационарности исследуемого процесса. Сама такая нестационароность может выступать как признак аварийной ситуации, приближающейся катастрофы или стихийного бедствия.

В докладе предлагается обобщение понятия корреляционного интеграла - кросскорреляционный интеграл, рассматриваются некоторые его свойства. Обсуждается применение введенного понятия к задачам выявления нестационарности временных рядов, проводится сравнение предлагаемого подхода со статистическими методами.

Кросскоррелянионный интеграл вводится следующим образом. Пусть даны два векторных временных ряда, состоящих соответственно из n и m точек и введено расстояние .

Кросскорреляционный интеграл

Показывается, что вычисление кросскорреляционного показателя в некоторых случаях аналогично зкаче1е~-преобразованию плотности распределения:

где p1 - плотность распределения случайной величины x 1, F2-функция

распределения случайной величины x 2 .

Рассмотрен вопрос о выявлении нестационарностей во временных рядах. Показано, что статистические подходы (например, основанные на методе Колмогорова-Смирнова), не дают адекватных результатов в ряде случаев, когда рад порождается системой, в которой есть динамический хаос. Применение методов, основанных на понятии кросскорреляционного интеграла позволяет обойти возникающие трудности. Показано, что подобные подходы являются устойчивыми по отношению к параметрам реконструкции фазового пространства системы и аддитивному шуму.

Работа поддержана грантами РФФИ 96-01-01161 и 97-01-00396.

Литература

1. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness jf strange attractoгs Physica D, 1983, v.9, рр.189-208.

2. Таkens F. Detecting strange attractors in turbulence/Lect. Notes in ath. Berlin,Springer, 1981, v.898, рр.336-381.

3. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Рахманов А.И. Ограничения возможностей реконструкции аттрактора для хаотических динамических систем. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, № 10, 1993.

4. А.Grussman. R.Kroland-Martinet, J.Morlet. Reading and understanding continuous Wavelet transforms, in: Wavelet, Springer Verlag. 1991, рр 2-21.

5. Хеннекен П.Л., Тортра А., Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М., Наука, 1974.

6. Дмитриев А.С., Крупский О.Л., Идентификация странных аттракторов по экспериментальной плотности вероятности. Журнал технической физики, № 10, 1993, стр.1-11.