А.И.Ноаров Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН Россия

Рассматривается система n обыкновенных дифференциальных

уравнений, возмущенная гауссовым шумом:

Указанная система (иначе называемая стохастическим дифференциальным уравнением - С.Д.У.) является естественной математической моделью во многих практически важных случаях. В качестве наиболее характерных примеров достаточно указать стохастические модели изменения частот генотипов со временем (Колмогоров, Фишер), а также вероятностные модели роста взаимодействующих популяций. При этом шум интерпретируется как вредное, деструктивное влияние внешней среды на функционируюший в этой среде объект (ему соответствует невозмущенное уравнение x = f(x).

Известно, что С.Д.У. адекватно описывает биологические (экологические, технические...) системы, подверженные действию термодинамических флуктуаций, внешних факторов, антропогенных нагрузок. С точки зрения прогноза представляет интерес рассмотрение соответствующего С.Д.У. случайного процесса в терминах интегральных характеристик. Так, например, неограниченное возрастание дисперсии может говорить о развитии нежелательных и даже катастрофических тенденций в исследуемой системе. Напротив, свойство локализованности плотности вероятности процесса и неуход траекторий на бесконечность представляются весьма желательными характеристиками рассматриваемого объекта. Исследованию различных динамических систем на предмет наличия указанного свойства устойчивости к действию шума и посвящена предлагаемая работа.

Исследование основывается на рассмотрении задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка

описывающего в терминах плотности вероятности С.Д.У. При этом в центре внимания оказывается вопрос существования у этого уравнения стационарного решения, являющегося плотностью вероятности некоторой случай ной величины. Существование такого решения уравнения (1), рассматриваемого по , характеризует притягивающую способность векторного поля f и обеспечивает устойчивость системы. В данной работе исследовались уравнения (1) с различными векторными полями f(x), являющиеся моделями биологических, экологических, и др. систем, функционирующих в случайной среде. Ставилась задача, во-первых, выявить векторные поля, обладающие указанным выше свойством устойчивости, во вторых - выяснить реакции устойчивых систем на возмущения различной интенсивности. К последней задаче непосредственно примыкает проблема оценки максимально допустимого уровня воздействия на систему, а также конструирования системы (векторного поля f(х) ), оптимальным образом реагирующей на (изменяющуюся) окружающую среду.

Исследование уравнения (1) проводилось численно, методами работы [1] и заключалось в проверке достаточных условий устойчивости из [1], а затем - (при выполнении этих условий) в приближенном вычислении стационарного решения (1). У полученных стационарных решений находились дисперсии и тем самым оценивалась их локализация.

В результате вычислительных экспериментов над двумерной системой типа хищник-жертва при определенных значениях параметров модели (т.е. векторного поля) было выявлено свойство уменьшения дисперсии по одной из переменных в ответ на увеличение амплитуды шума, действующего на эту переменную. Такая реакция системы на изменение условий окружающей среды представляется весьма желательной с точки зрения "выживания" системы, поддержания ее "гомеостаза" т.е. выполнения критерия качества, сформулированного в работе.

В заключение отметим, что имеющийся алгоритм проверки достаточного условия существования стационарного решения уравнения (см. [1]) позволяет анализировать С.Д.У. с произвольными правыми частями (векторными полями) и; отбирая "устойчивые" векторные поля, конструировать системы с требуемым свойством устойчивости по отношению к случайным внешним воздействиям.

Литература

1. Ноаров А.И. Об одном достаточном условии существования стационарного решения уравнения Фоккера-Планка // Ж. вычисл. матем. и матем .физ. 1997,Т.37,№5,С.587-598.

2. Термодинамика и кинетика биологических процессов. М.: Наука, 1980.